  裴老师的题篓子（5） |
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 裴老师(769269)
2008-05-09 08:55:53 回复:13 人气:241
优币:0.2[王老师] 修改 删除 |
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题目：（√17＋4）2n+1 （其中n∈N）的整数部分记为M，小数部分记为m，求m(M+m)的值.
补充：顺便问一个，什么样的题才能叫做好题呢？
[此贴子已经被作者于2008-05-09 12:18:54编辑过]
| 回复1:裴老师(769269) 2008-05-10 13:00:45 优币:+0.1 |
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| 解题思路： 1）（√17＋4）2n+1 ＝m＋M 只要知道M与m中的一个就可以了。 2）可先对M或m的结果进行猜测 当n＝0时，M＝8，m＝√17－4； 当n＝1时，M＝536，m＝（√17－4）3； 猜测m＝（√17－4）2n+1. 3）证明上述猜想 证明时可选择比较易于下手的整数部分作为突破口 [此贴子已经被作者于2008-05-10 18:34:01编辑过] |
| 回复2:裴老师(769269) 2008-05-10 18:18:08 优币:+0.1 |
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| 解： 设x＝√17＋4，y＝√17－4. 则 x－y＝8，xy＝1，x2＋y2＝66 下面用数学归纳法证明x2n＋1－y2n＋1是整数： 1）当n＝0时，x－y＝8，是整数； 当n＝1时，x3－y3＝（x－y）（x2＋xy+y2）＝8×（66＋1） 所以，x3－y3也是整数； 2）若当n＝k－1和n＝k时，x2n＋1－y2n＋1都是整数， 即x2k－1－y2k－1和x2k＋1－y2k＋1都是整数，则当n＝k＋1时， x2n＋1－y2n＋1 ＝x2k＋3－y2k＋3 ＝（x2＋y2）（x2k＋1－y2k＋1）＋x2y2k＋1－y2x2k＋1 ＝（x2＋y2）（x2k＋1－y2k＋1）－x2y2（x2k－1－y2k－1） ＝66（x2k＋1－y2k＋1）－（x2k－1－y2k－1） 所以，当n＝k＋1时，x2n＋1－y2n＋1也是整数. 综合1）、2）可得，当n∈N时，x2n＋1－y2n＋1是整数. ∵4＜√17＜5，∴0＜y＜1,∴0＜y2n＋1＜1； ∵x＝√17＋4，∴x2n＋1＝（√17＋4）2n＋1， 又∵x2n＋1－y2n＋1是整数，0＜y2n＋1＜1， ∴M＝x2n＋1－y2n＋1，m＝y2n＋1. ∴m（M＋m）＝y2n＋1x2n＋1＝（xy）2n＋1＝12n＋1＝1 [此贴子已经被作者于2008-05-11 07:54:17编辑过] |
| 回复3:陈老师(7302496) 2008-05-10 20:39:49 优币:未加 |
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| 真棒! 鞍山退休陈老师. |
| 回复4:裴老师(769269) 2008-05-11 07:09:38 优币:未加 |
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受到陈老师的夸奖，俺很高兴。 哈哈哈！ 就象听说八路军抢了鬼子的粮一样高兴。  |
| 回复5:孙老师(376919184) 2008-05-11 09:01:51 优币:未加 |
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| ok 谢谢了裴老师， |
| 回复6:裴老师(769269) 2008-05-11 14:21:06 优币:未加 |
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| 客气！ |
| 回复7:奚老师(175559340) 2008-05-31 01:17:52 优币:+0.1 |
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| 上面的都是在职老师呀！！题目和解法都很精彩。首先在这里先谢谢两位老师。 接下来说说学生对这题的看法~也给老师们点意见。也不知道过了这么久老师们还会不会回过头来看这贴。 看了题，首先想到的就是怎么样将整数与小数分开，仔细想想发现，小数的N次方永远是小数，所以 m=(√17-4)2n+1 M+m就是小数部分加整数部分，不就是原式吗？所以m+M=(√17+4)2n+1 m(M+m)=(√17+4)2n+1(√17-4)2n+1=(√17+4)(√17-4)2n+1=12n+1=1 |
| 回复8:裴老师(769269) 2008-06-01 06:31:50 优币:未加 |
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| 呵呵！这么长时间了，感谢奚教师还在关注本贴并参与讨论。其实时间也不很长，几年前的帖子有时我也翻翻。很多都是有价值的。 关于奚教师提出的问题，我是这样理解的。小数部分的N次方永远是小数，没错。但题中的m并不是小数部分的N次方，而是原式的小数部分，它们不是一个概念。本题中这两个量刚好相等，但这也正是本题首先要证明的，不可回避。 |
| 回复9:奚老师(175559340) 2008-06-02 02:21:42 优币:未加 |
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| 呵呵~我理解您的意思了，其实数学仔细去想会联想出很多问题。就比如此题就让我想到了一个问题。如果A是整数，a是小数，当然都是正的啦。那么A+a的N次方的小数是什么呢？在什么情况下是等于a的N次方的呢？ 不知道裴老师会不会觉得我想太多啦？呵呵...其实有时候我自己都这么觉得... |
| 回复10:洪老师(590120701) 2008-06-13 17:10:17 优币:未加 |
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| 还是让我来证明m=(√17-4)2n+1吧！ 很明显(√17-4)2n+1小于1，所以它只有小数部分，设它的小数部分为k。 这里要用到高中时的二项式定理: 因为(√17+4)2n+1-(√17-4)2n+1=整数（这里大家自己去展开，展开相减以后会发现√17的二次项都为偶数项），即M+m-k=整数，即m=k。证毕。 |
| 回复11:裴老师(769269) 2008-06-14 11:01:11 优币:未加 |
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| 回复9楼： 奚教师的想法很好，我很受启发。 对于本题，把17换成18、19、……、24都没问题，呵呵！有意思。 奚教师不是想的太多啦，而是独具慧心呀！ |
| 回复12:裴老师(769269) 2008-06-14 11:12:40 优币:未加 |
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| 回复10楼： 洪老师用二项式定理直接把两个幂式展开运算，公式娴熟，算功精湛啊！ 我早已把公式都不记得了，呵呵！ 千万不要把我开出教师队伍哟！  [此贴子已经被作者于2008-06-14 11:16:41编辑过] |
| 回复13:鲁老师(869373) 2008-06-14 22:14:21 优币:未加 |
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| 大家好啊！ 很久都没有看见这样的题目和解答方法了，看完全过程的时候有一种久违的感觉漫多全身啊！让我会议起了我在高中的日子！ |