一元一次方程的解法
周继光  （上海市卢湾区教育学院）

作者简历:

周继光  浙江镇海人，1962年毕业于上海市大同中学，同年留校任数学教师。1978年被晋升为上海市特级教师。1986年在上海师范大学数学系本科毕业。1988年被评为上海市中学高级教师，1989年被评为全国优秀教师。现任上海市卢湾区教育学院数学教研员，上海市中小学数学教育研究会理事。

教学目的
   以方程的两个同解原理为依据，运用把一元一次方程转化为最简方程的思想方法，使学生掌握解一元一次方程的一般步骤。在训练学生正确、熟练地解一元一次方程的同时，培养他们的观察、思维能力。

教学过程

一、 以旧引新，提出问题
1． 复习提问
师：上节课我们学习了比较简单的一元一次方程的解法，先做两道练习：（挂小黑板，出示题目。）
（1） 。   （2） 。
（这两道题是根据学生作业中存在的问题编选的。学生练习，教师巡视。发现学生第（1）题都会做，但少数学生缺少解题过程，第（2）题由于解法不同，有两种答案。）
师：第（2）题的两个答案 与 都对。谁来说说解第（2）题的主要步骤和依据。
（两种解法各选一个学生回答，教师根据他们的回答板书。）
生甲：
  移项   两边除以0.5
0.5x+1=0.2 0.5x= - 0.8 x = - 8/5
  同解原理1   同解原理2
 两边乘以2
生乙：第一步与生甲一样，第二步  x = - 1.6
 同解原理2

师：请同学讲一讲解这类方程的思路。
（教师根据学生的回答板书。）
一元一次方程的最简的方程 。
使X的系数为1
2． 提出问题
师：在实际问题中碰到的方程并不都是那么简单，例如：（出示小黑板）
（1） 解方程：5x+2 = 7x – 8;
（2） 解方程：2 （2x-2）-3(4x-1) = 9(1-x);
 (3)解方程： (5y-1)/6 = 7/3
（这三道题分别是课本的例4、例5、例6。）
师：这些比较复杂的一元一次方程怎么解？这是今天我们要学习的。能不能也用“转化”的思想方法求解呢？请同学们先试一试。

[课题引入的方法很多。这里，我采用提出问题的方法引入新课。在复习提问之后紧接着提出问题：比较复杂的一元一次方程能不能也用转化的思想方法求解？这个问题可以使学生产生悬念，激发求知欲。只有学生有了解决问题的要求，调动学生思维的积极性才可能。事实上这个问题一提出，学生的注意力就被引向正确的思维方向，从而使他们的思维迅速定向。]

二、 观察思考，寻求解法
  （学生分小组议论，寻求解法。教师参与议论，根据情况作启发、指点。）
师：解这些比较复杂的一元一次方程，可以这样去想：
（1）只要能把这些方程化成最简方程，就可以求出解来，想想怎样朝着最简方程的目标把方程化繁为简？
（2）思考时可以把这些方程与最简方程相比较，想想这些方程主要“复杂”在哪里，然后考虑用什么方法把方程化繁为简。
[培养观察力是发展思维的前提和基础。在教学中要抓住一切机会培养学生的观察能力。我认为对于数学模型（图形或式子）要指导学生观察什么和怎样观察。这里我要求学生观察这三个方程与最简方程的区别，把学生的无意观察引向有目的的观察，引导学生边观察、边思考，去寻求怎样把这些比较复杂的方程化为最简的方程的方法。]
（学生解题，教师巡视，逐一和学生对答案，当多数学生将要做完第（3）题时，教师发问。）
师：第（3）题是怎样解的？我请三位同学上黑板来解。
师：这三个同学的解法，谁比较简便？
（学生中间有的认为乙的解法较为简单，有的认为丙的解法较为简单，两种意见，针锋相对。）
师：我们来看乙的解法，“交叉相乘”实际上是在方程两边同乘以几？（学生齐声呼应：丙，）对!丙在两边都乘以方程中各分母的最小公倍数6，使方程的各项系数都转化成整数，这种“去分母”的方法好!
（教师在学生丙的解答前用红粉笔画一个“√”，并添上“去分母”三个字。）
今后，我们解含有分母的一元一次方程，一般都先“去分母”。
[第（1）、（2）两题，学生自己能够解决，可简单带过，把重点放在第（3）题的几种不同解法的评析上。我鼓励学生发表不同意见，开展讨论，并顺着多数学生的思路，稍加点拨，很快使学生信服并接受“去分母”的方法，这要比用注入的方法把“去分母”灌给学生，效果要好。后者，学生的智力潜能及非智力因素处于静态之中，没有投入教学过程发挥作用；前者，充分重视学生的主体作用，通过教师的鼓励，使学生的智力因素及非智力因素由静态转入动态，有利于激发学习的内驱力，从而充分调动学生的学习积极性。]

三、 小结归纳，整理知识
师：在解上述方程的过程中，我们曾经用过哪几种方法？这些方法的依据是什么？
（根据学生的回答，教师将正确的结论填入下面预先划好的表格中，表中（1）、（3）、（5）三行用红色粉笔写。）
师：谁再来说说进行上述各个步骤的目的是什么？
（学生回答，教师复述，揭开下表中目的一栏。）
方法 依据 目的
（1）去分母 同解原理2 使各项系数转化成整数
（2）去括号 去括号法则乘法分配律 有利于移项、合并同类项
（3）移项 同解原理1 使含未知数的项和已知项分别集中
（4）合并同类项 合并同类项法则 减少含有未知数的项
（5）两边除以未知数的系数 同解原理2 使未知数的系数转化为1

师：这里，我们清楚地看到，无论怎样复杂的一元一次方程，利用方程的同解原理经过上述变形[指出表中的第（1）列]都可以化为“最简方程”，然后在方程两边除以未知数的系数把解求出来，这就是解一元一次方程的一般步骤。（板书）
                             （1）-（4）
“比较复杂的一元一次方程”   最简方程  
                 （5）
                                  。
[处理这部分教材的方法，通常以教会学生掌握解法步骤为重点，而我却紧紧抓住同解原理，让学生以此为据进行方程的变形，达到使方程逐步化成 型的目标。这样，解法步骤就成为这个过程的自然归纳。这节课着重引导学生探求解法的思路，有利于引导学生动手、动脑去整理自己的思路。学生通过对所学知识内容进行逻辑的分析、综合与分类，归纳整理，不仅能使学生全面地掌握基础知识，而且可以培养学生思维的组织性。]


四、 练习说讲，双向反馈

1． 巩固性练习与评讲
练习一 解下列方程：

[第（2）题是课本的例7，学生在去分母时，对常数1也要乘以公分母这一点容易忽略，为此编选第（1）题。]
（学生练习，教师巡视，进行个别辅导。在多数同学开始做第（2）题时，请一位同学板演第（2）题。）
生：去分母，得
  ，
……
师：（手指着题目）这里1应该乘以12，（指着学生的板演解答）噢!他没有忘记乘。好，看看他解得对不对？
生：不对， 去分母时，分子 没有添上括号。
师：（指着板演的学生，面带笑容）你是不是因省略了步骤而搞错的？（面对大家）X X同学指出得对，我们要注意防止这类错误，初学时不要省略步骤。这里，如果补上“ ”这一步，就不容易发生错误了。要注意按照解一元一次方程的一般步骤（指着表格）进行。
2． 思考性练习，讨论与评讲
练习二  解下列方程：
(1) 2(x-1)+5(x-1)=1-8(x-1);
(2) 5(y-1)-3(1-y)+7(1-y)=100

（解这类方程，一般会有以下两种不同的解法：王码电脑公司软件中心种是按“一般步骤”解；另一种是把某一个代数式如题中的 分别看作未知数Y、X来解。教师有意识地选择两位不同解法的同学上黑板解第（2）题。）
师：（指着两个学生）他们解得对不对？（学生齐声呼应：对!）他的过程怎么这样简单？（指着这个学生）你是怎么想的？
生：我把 看作是一个未知数，用X表示，那么 就是-X。
师：他的解法好，还有点“创造性”呢!平时他肯动脑筋，所以好的想法就出来了，这种把 看作是一个未知数Y、X的方法叫做“换元法”，以后我们会深入学习的。从上面可以看出，由于方程的形式不同，我们在解方程时，并不一定非要按“一般步骤”来解，也不是每一个步骤一定都要用到，我们要仔细观察，善于抓住方程的特点，选择合理的解法。
3． 小结
师：这一节课我们主要学了哪些知识和方法，谁来小结一下？
生甲：这一节课我们学习了解一元一次方程的一般步骤。
生乙：还学习了每一步的依据。
生丙：还学习了“换元法。”
师：同学们小结得很好，我们就要这样，边学习、边归纳整理。这节课里我们探索、研究了比较复杂的一元一次方程的解法。基本思路是“转化”，（板书带·的词，下同，指着原有的板书。）转化的目标是“最简方程”，转化的依据主要是角方程的两个“同解原理”，转化的一般步骤，课本中已有小结。（让学生翻开课本，默读有关的黑体字。）但这不是绝对的，我们要善于观察，认真思考，“因题制宜”，讲究转化的“艺术”，尽量用合理的方法，做到正确、迅速。
[在练习、评讲、小结等教学环节中，形成师生之间和同学之间的“双向反馈”是很重要的。例如，在学生练习中发现的错误可及时补救，以达到“以新带旧、查漏补缺”的目的。这样，教师的指导就具有明显的针对性。又如，在学生小结中，他们只是就事论事地罗列学过的知识方法，我就从思维的一般方法上加以补充小结，使学生在思想方法上得到熏陶。]

五、 因材施教，发展个性
1． 布置作业
在课本中选择三道必做题，一道选做题，再补充以下两道选做题。
解方程：
（1） 7(2x+1)-3(4x-2)-5(x+1/2)=1;
（2） 1/3[2(9x+2)- ]=1.

2． 思考题
求二十五个连续整数；使前十五个整数的和等于后十个整数的和。
（留五分钟，让学有余力的同学思考、解答上题，其余学生做作业。在中、小学衔接教学中，学生已经接触过求连续自然数的和的问题，因此总会有王码电脑公司软件中心一些学生用下面的方法求出答案，下课前只公布答案，让有兴趣，但尚未求出答案的学生课后再做。）
设最小的整数为x.
  X+(x+1)+(x+2)+…….+(x+14)
=(x+15)+(x+16)+…….(x+24),
15x+ (1+2+3+……+14)= 10x + (15+16+  …… +24),.
15x+105  = 10 x + 195,
解得    x=18
答：这二十五个连续整数是18，19，20，……42.
[由于学生的思维素质存在一定的差异，为了使基础较差的学生“吃得了”基础较好的学生“吃得饱”，教学要贯彻“因材施教”的原则，为此我在安排教学包括布置作业上都留有余地，使教学有弹性，便于取舍。对基础较差的学生，着重进行思维的基本训练，注意学习习惯的培养，适当降低难度，以提高他们学好数学的信心；而对基础较好的学生，应当适当加大难度，有时还要适当拓宽知识，让学生有思考的余地，提高他们学习数学的兴趣。像上面思考题和选做题这样的题目，我在备课时一般都要编选几道，供学有余力，又有兴趣的同学选做，日积月累，对训练和培养他们的思维素质，发展学生的个性有积极的作用。]

自我评述
我认为学生过程，实际上是他们不断思维的过程，教师应该是这个思维过程的“导演”而不是“演员”。因此，本教案的设计以培养和训练学生的思维素质为宗旨，采用“教师引在前，讲在后；学生想在前，听在后”的教学方法。其主要特点是：
（1）“整章设计，分段疏通，”即重视知识的整体结构，按学生的认识水平，为学生设计单元的最佳学习过程，并在分段实施过程中，当学生感到困惑时，教师给予必要的帮助。这节课在第一阶段（五节课）学生理解、掌握了方程的同解原理和会解简单的一元一次方程（课本例1-例3）的基础上，着重引导学生运用方程的同解原理去探求解一元一次方程的基本思路，后面安排三节课巩固、消化，帮助学生形成一定的解题技巧。这样安排，一方面使整个单元内容连贯、紧凑、重点突出，另一方面符合学生的认识规律，有“快”、有“慢”，节奏感强，“快”和“慢”得到了辩证的统一。正因为前面五节课的“慢”（在同解原理与简单的一元一次方程的解法同步穿插进行教学，用了较多的时间，让学生初步接触了“转化”的思想方法），这节课的“快”才有基础。在学生初步掌握了解一元一次方程的基本思路后，是“精雕细刻”的阶段，用两、三节课，让学生通过积极、主动的思维，“循序前进”（区别于习惯上的“循序渐进”）。
（2）“看、想、记=问、议、练、查、结”，这是学生在教学过程中积极思维的主要活动形式。所谓“优化组合”就是教师根据一节课的教学目标及其在单元学习中的地位，选择若干活动形式，如这一节课以“议”、“练”、“结”这主，针对学生掌握知识的薄弱环节，抓住他们对某个问题的不同意见，组织他们展开讨论。如这节课“去分母”的引入，有时也让一部分学生碰点“钉子”，吃点“苦头”，然后组织他们交流“碰钉子”的体会。通过同学之间的这种信息交流，取长补短，让每个学生的眼、耳、口、手、脑五官齐动。当学生获得了其他同学或教师的信息和思想后，或使他们的思维畅通，或激发起进一步思维的积极性。这样做，有利于最大限度地调动全班各层次学生的思维主动性，切实保证学生在教学双边活动中的主体地位。
（3）“引导、疏通、点拨、激发”，这是教师在教学过程中充分发挥主导作用的主要做法。例如，这一节课一开始教师提出问题，引导学生观察所给方程与“最简方程”的区别，探求解法的基本思路；在学生“去分母”产生错误与小结归纳发生困难时，教师帮助排难解惑，加以疏通；在发现少数学生不按“一般步骤”解时，教师及时加以肯定，并在思想方法上加以点拨，开阔学生的思路，激发他们寻求合理解法的积极性。总之，在教学的双边活动中，只要教师对学生的反馈信息的质的判断准确，能及时果断地处理它，那么教学效果一定较好。我期望通过老师的“引”，点燃学生思维的火花；通过老师的“疏”，使学生的思维流畅；通过教师的“点”，使学生的思维跨入新的高度；通过老师的“激”，激起学生思维的热情，使学生的思维处于最佳状态，真正使教师成为学生思维过程的“导演”。同时，教师还应该是学生积极思维的“鼓动者”。教师要抓住学生的心理变化特点，“引”在关键，“疏”在需要，“点”在要害，“激”在心坎。在课堂教学中师生之间的对话与交往，不仅要交流思维方法，还要重视思想与情感的交流。例如，这一节课中，有位学生解题的方法很巧，但讲不清楚，我还是表扬了他，使他感到是一种鼓励。可以这样说，一节课的成功，某种意义上是师生之间交往的成功，是学生的“智力因素”与“非智力因素”同时得到开发的结果。