解析几何中的最值问题
【复习目标】:1.掌握解几中求最值的方法和技巧，熟悉通过设立参数化归为函数问题的基本思路.
2.通过最值问题的解决,提高恒等变形解题的能力.
3.最值问题是解几中既典型又综合的问题,涉及的数学知识、数学方法和数学思想较多,通过学习加深知识联系的理解,构建知识网络,提高解综合题的能力.
【教学重点】: 最值问题 函数问题
【教学难点】: 选取适当参数,建立目标函数.并利用求解函数最值的方法和技巧求出最值。
【重要思想方法】:函数的思想、数形结合.
【教学方法】:以学生为主体,教师加以引导启发。
【教学过程】:
一．问题回顾：
1．求过点P（1，4）且在第一象限与坐标轴与坐标轴围成的面积最小时的直线方程。
2．在x轴上求一点P，使点P到点A（－2，1）与点B（1，2）的距离最小。
3．在抛物线 上求一点P，使得P 点到（0，2）的距离与点P到定点A(1,3)的距离之和最小，并求出这个最小距离。
4.求直线y=kx+1被椭圆 截得的最大弦长。
归纳：解决解几中最值问题的基本思路:
二．例题讲解：
例1．如图，过点P(2,1)作直线L，分别交x轴和y轴的正半轴于A、B两点（1）当 取最小值时，求L的方程（2）当 取最小值时，求L的方程。（3）当 的面积取最小值时，求L的方程。
例2．如图已知直线L:x-ay+a=0与双曲线C：的左支交于A、B两点，过弦AB的中点Q与点P（－2，1）的直线交y轴于（0，b），求当a变化时b的取值范围。
例3．设A、B是抛物线 上两点，且OA ，O为原点（1）求 面积的最小值（2）求弦AB的中点M到直线2x-y+2=0的距离的最小值。
归纳小结：求最值常见的方法和技巧：利用二次函数的性质；利用三角函数的有界性；利用基本不等式；利用函数的单调性；利用数形结合的方法。
三．巩固练习：
1．已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动，则 的最小值为___________,最大值是____________.xy的最大值是____________.
2．抛物线 上各点与直线3x+4y-8=0的最短距离为1，求P的值。
3．已知直线L:y=4x,点P（6，4），在L上求一点Q，使过PQ的直线与直线与直线L及X轴在第一象限内所围成的三角形面积最小。
4.若点P（x,y）圆 上运动，则 的最小值为___________.3x+4y的最大值为______________.
5.在抛物线 上求点M，使M到两定点A（p,p）,F( ,0)距离最小，则M的坐标是___________.
6．已知A（－1，1），B（1，0），点P为椭圆 任一点，则 的最小值为（　　）
A.4　　　　　　　B.2　　　　　　　 C.5　　　　 D.6
四．归纳小结：1.解决解几中最值问题的基本思路:
2．求最值常见的方法和技巧：
五．作业布置：《3＋2》P107。第54练107页部分。
六．课后思考题：（2001年春季高考北京、安徽试题）已知抛物线 ，过动点M（a,0）且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A、B，（1）求a的取值范围。（2）若线段AB的垂直平分线交x轴与点N，求 面积的最大值。