2006年全国初中数学竞赛试题
考试时间　 2006年4月2日上午　 9∶30－11∶30　 满分120分
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）
1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（　　）
（A）36　　　　　（B）37　　　　 （C）55　　　　　　（D）90
2．已知 ， ，且 =8，则a的值等于（　　）　
（A）－5　　　　 （B）5　　　　　（C）－9　　　　　 （D）9　
3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线 上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（　　）
（A）h<1　　　　（B）h=1　　　　 （C）1<h<2　　　　 （D）h>2
4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（　　）
（A）2004　　　　（B）2005　　　　（C）2006　　　　　（D）2007
5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则 的值为（　　）
（A）
（B）　
（C）
（D）
二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a<b，则a＋b＋c的最大值为　　　　　　　　 ．
7．如图，面积为 的正方形DEFG内接于
面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，
且b不能被任何质数的平方整除，则 的值
等于　　　　　 ．
8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过　　　　分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．
9．已知0<a<1，且满足 ，则 的值等于
　　　　　　　　．( 表示不超过x的最大整数)
10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是　　　　　 ．
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．已知 ， ， 为互质的正整数（即 ， 是正整数，且它们的最大公约数为1），且 ≤8， ．
（1） 试写出一个满足条件的x；
（2） 求所有满足条件的x．





12．设 ， ， 为互不相等的实数，且满足关系式
　　　　　 ①
　　　　　　　　　②
求a的取值范围．







13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE•AC=CE•KB．















14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．