皖北六所
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集 ，集合 ，则
A．{2，3，6，7}　　　B．{4，5}　　　　 C．{0，1}　　　　　 D．{2，3}
2．以线段AB： （0≤ ≤2）为直径的圆的方程为
A．　　　　　　　　　B．
C．　　　　　　　　　D．
3．已知点（3，1）和原点（0，0）在直线 的同一侧，则实数 的取值范围是
A． <10　　　　　　　B． >10　　　　　 C． <9　　　　　 D． >9
4．设等差数列 的前 项和为 ， ，则 =
A．4　　　　　　　　　B．2　　　　　　　 C．1　　　　　　　D．
5．已知双曲线 的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，则|AF|的值为
A．1　　　　　　　　　B．2　　　　　　　 C．　　　　　　 D．
6．已知 是虚数单位，函数 ，在R上连续，则实数 =
A．-2　　　　　　　　B．0　　　　　　　　C．2　　　　　　　D．4
7．有一种波，其波形为函数 的图象，若其在区间[0， ]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数 的最小值是
A．5　　　　　　　 B．6　　　　　　　　 C．7　　　　　　　　D．8
8．已知 是定义在R上的函数， ，且对任意 都有 ≤ ， ≥ ，则 的值是
A．6　　　　　　　 B．5　　　　　　　　C．7　　　　　　　　 D．不能确定
9．设O是△ABC内部一点，且 ，则△AOB与△AOC的面积之比为
A．2　　　　　　　 B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　 D．
10．已知直线 ，平面 、 ，满足 ．在 这三个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构造的命题中，真命题的个数是
A．　　　　　　　 B． 　　　　　 C． 　　　　 D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上
11．已知 则　　　　　　
12．已知非零向量 、 满足 ，则 与 夹角的大小为　　　　　．
13.某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为__________________.
14．已知椭圆的方程为 与该椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为　　　　　　　　　 .
三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15． 已知 ，
　　（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．









16、已知函数 的首项 ，其前n项和为Sn，且对任意正整数n，有n，an、sn成等差数列。
（1）求证：数列 成等比数列；
（2）求数列 的通项公式。







17．（本题满分 分）
如图，已知正三棱柱 - 的底面边长是 ， 是侧棱 的中点，直线 与侧面 所成的角为 ．
　　 （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ） 求二面角 的大小；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．

















18、一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a1a2a3a4a5，其中A的各位数字中，a1=1，ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为 ，出现1的概率为 ，例如A=10011，其中a2=a3=0，a1=a4=a5=1，记 。当启动仪器一次时，
求：(1) 的概率；（2） 的数学期望。














19．设椭圆方程为 （a>b>0），PQ是过椭圆左焦点F且与x轴不垂直的弦PQ中点M到左准线 的距离为d。
（1）证明： 为定值。
（1） 若 ，b=1，在 上求点R，使 为等边三角形。
















20．已知定义在实数集R上的函数 是实数.
　 （1）若函数 在区间 上都是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，并且 求函数 的表达式；
　 （2）若 ，求证：函数 是单调函数.













皖北六所省示范高中07高三联考数学试卷参考答案
一、选择题
1．D　 2.B　 3.A　 4.C　 5.B　 6.D　 7.C　 8.A　 9.B　 10.C
二、填空题
11．0　　12．60°　13．15　2　3　 14．
15．解：（Ⅰ）由 ,　，　　　　 ………………………2分　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　．　　　　　　　　　…………………5分
（Ⅱ） 原式＝　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　 …………………10分


16．解（1）∵n、an、Sn成等差数列。 ∴2an=n＋Sn …………2分
又an=Sn－Sn-1（n≥2） ∴2(Sn－Sn-1)=n＋Sn
即Sn__=2Sn-1＋n …………4分
∴Sn＋n＋2=2Sn-1＋2n＋2
∴Sn＋n＋2=2[Sn-1＋(n－1)+2] …………6分
即 成等比数列 …………8分
（2）由（1）知 是以 为首项，2为公比的等比数列。
…………10分
又
…………14分
解：（Ⅰ）设正三棱柱 - 的侧棱长为 ．取 中点 ，连 ．
是正三角形， ．
又底面 侧面 ，且交线为 ．
侧面 ．
连 ，则直线 与侧面 所成的角为 ．　 ……………2分
在 中， ，解得 ．　　　 …………3分
此正三棱柱的侧棱长为 ．　　　　　　　　　　　　 ……………………4分
注：也可用向量法求侧棱长．
（Ⅱ）解法1：过 作 于 ，连 ，
侧面　 ．
为二面角 的平面角．　　　　　 ……………………………6分
在 中， ，又
，　　．
又
在 中， ．　　　　　　　 …………………………8分
故二面角 的大小为 ．　　　　　　　 …………………………9分
解法2：（向量法，见后）
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知， 平面 , 平面 平面 ，且交线为 ， 过 作 于 ，则 平面 ．　　　　　　　　　　　…………10分
在 中， ．　　　　 …………12分
　为 中点， 点 到平面 的距离为 ．　　　 …………13分
解法2：（思路）取 中点 ，连 和 ，由　，易得平面 平面 ，且交线为 ．过点 作 于 ，则 的长为点 到平面 的距离．
解法3：（思路）等体积变换:由 可求．
解法4：（向量法，见后）
题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：
（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系 ．
则 ．
设　为平面 的法向量．
由　得　．
取　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………6分
又平面 的一个法向量　　　　　　　　　　　　　 …………7分
　．　 …………8分
结合图形可知，二面角 的大小为 ．　　　　 …………9分
（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，　…………10分
点 到平面 的距离　＝ ．
18．解（1）
∴ 表示a2、a3、a4、a5这四个数中出现2个1,2个0………………2分
则 故 的概率为 　　………4分
（2） 的可能值分别为1，2，3，4，5
表示 …………6分
表示a2，a3，a4，a5这四个数中出现1个1，3个0。
…………8分

表示a2、a3、a4、a5这四个数中出现3个1，2个0。
……………10分

故 的分布列为

1 2 3 4 5







　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分
的数字期望 …………14分
19解：（Ⅰ） …………（5分）
∴ 为定值。 ……………（6分）
（Ⅱ）方法一：∵a= ,b=1∴c= ,F(- ,0)
设直线FQ的斜率为k，中点为 ，
由题意得：　　整理得：
，………………………（8分）
　
则 ，…………（11分）
又 ，
两边平方化简得： ，
当k=1时，点M为 ，则直线MR的方程为 ,
当 时， ，即点R为 ，同理，当k=－1时，可得点R为 ，综上得，点R为（ ）…………（14分）
　　方法二：e=
设直线FQ的倾斜角为 ，斜率为k，则在 中，
　　 ， ………………（9分）
　　 ， ………………（11分）
　　当k=1时，直线PQ的方程为 ，
　　由题意得：　　，
整理得：
则 ， ，
同理，当k=－1时，可得R为 ，综上得：R点为 。
20．解（1）
由　　（3分）
又由于 在区间 上是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，所以－1和3必是 的两个根.　∴　（5分）
又根据　 （8分）
　 （2）　（10分）
因为 为二次三项式，并且 ，
所以，当 恒成立，此时函数 是单调递增函数；
当 恒成立，此时函数 是单调递减函数.
因此，对任意给定的实数a，函数 总是单调函数.　　 （14分）